Déterminer le diamètre d’un plateau – La théorie

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Cet article entre dans une série visant à déterminer facilement le diamètre des trous de fixation d’un plateau à partir de la mesure de deux trous adjacents.

Pour déterminer ce diamètre facilement, et surtout précisément, un minimum de réflexion et de mathématiques vont nous y aider. Et oui, n’en déplaise à certains automobilistes, un cycliste a aussi (la plupart du temps) un cerveau, alors faisons-le fonctionner ! Si cette partie théorique n’est pas votre tasse de thé (mais rien n’interdit d’être curieux…), allez voir directement les autres articles plus concrets :

Pour le calculateur en lui-même, voir ICI.
Pour un tableau récapitulatif des diamètres usuels, voir LÀ.

La constatation de départ :

Plateau1

Sur les photos des deux plateaux, on se rend immédiatement compte que le diamètre (D) du plateau à 5 trous n’est pas simple à obtenir précisément. La seule mesure fiable est donc, quel que soit le nombre de trous du plateau, celle de la longueur (L) entre deux trous adjacents.

Le cas du pédalier à 6 trous :

Plateau6Commençons par faire simple. Dans un pédalier à 6 trous, on peut tracer 6 triangles. En y regardant de plus près, ils ont l’air équilatéraux ces triangles, non ? Alors vérifions-le.

Considérons le plateau comme un cercle, un cercle représente 360°. Ce cercle est partagé par les 6 traits rouges (prolongés en rose), donc en portions de 360 / 6 = 60°. Logique, n’est ce pas ?

Ces fameux 60° forment un sommet de chacun des 6 triangles. Comme la somme des 3 sommets d’un triangle est toujours de 180 °, la somme des deux autres côtés est donc de 180 – 60 = 120° soit, vu qu’il n’y a pas de raison qu’ils soient inégaux, 60° par angle restant.
Les 6 triangles sont donc équilatéraux, et par nature leurs 3 côtés sont de même longueur, donc le diamètre D = 2 * L

Le cas du pédalier à 4 trous :

Plateau4C’est à peine plus compliqué que pour le pédalier à 6 trous, à condition d’avoir quelques souvenirs de Pythagore et du fameux carré de l’hypoténuse.

En effet, les 4 longueurs L entre 2 trous adjacents forment un carré.

D est le diamètre des trous du plateau mais est aussi une diagonale du carré… qui forme ainsi deux triangles rectangles.

Connaissant la longueur des deux côtés d’un triangle rectangle, il est très facile de trouver celle de l’hypoténuse si on se rappelle qu’elle est égale à la racine carrée de la somme des deux autres côtés élevés au carré.

Donc le diamètre D = √¯(L² + L²) ou plus simplement D = √¯(2 * L²)

Le cas du pédalier à 5 trous :

Plateau5C’est maintenant que les choses se corsent un peu… Comme pour un plateau à 6 trous, on peut tracer des triangles ayant un sommet commun au centre du plateau, sauf qu’ici, on a tracé que 5 triangles.

En Considérant là aussi le plateau comme un cercle, ce cercle est partagé par les 5 traits violets, donc en portions de 360 / 5 = 72°.

Ces fameux 72° forment un sommet de chacun des 5 triangles. Comme la somme des 3 sommets d’un triangle est toujours de 180 °, la somme des deux autres côtés est donc de 180 – 72 = 108° soit 54° par angle restant.

Le diamètre des trous du plateau est de la longueur de 2 traits violets, qui forment le rayon du cercle à déterminer. Jusque-là rien de sorcier.

Pour calculer la longueur de nos traits violets, je vous propose deux méthodes :

Méthode 1 : Proportionnalité des côtés aux sinus des angles opposés.

Plateau52La trigonométrie nous dit que, en prenant le triangle ABL, B = (L * sin (b)) / sin (l) ou A = (L * sin (a)) / sin (l) ce qui revient au même, vu qu’ici le triangle est isocèle, et donc que l’angle a = l’angle b et que la longueur A = longueur B.

Le diamètre des trous du plateau est donc de 2 * A ou 2* B soit ici D = 2 * (L * sin (54)) / sin (72)

Méthode 2 : Ramener 1 des cinq triangles isocèles à 2 triangles rectangles

Plateau53Séparons un triangle ABL en 2 triangles rectangles symétriques AL’H et BL »H.

Le rayon du cercle correspond alors à la longueur de A (ou de B, ce qui ne change rien). Donc D = 2 * A.

Connaissant l’angle l = 72° pour le triangle ABL, il est de moitié, soit 36° pour chacun des deux triangles rectangles AL’H et BL »H, et faisant là encore appel à notre vieil ami Pythagore, et à un peu de trigonométrie de base pour trouver la longueur de H, on obtient : H = (L/2) / tan(36°), donc D = 2 * √¯ ((L/2)² + H²)

d’où : D = 2 √¯( (L/2)² + ((L/2) / tan(36°))² )

Généralisation du cas du pédalier à 5 trous :

Finalement, en y regardant de plus près, quel que soit le nombre de trous, rien ne change, à part les angles du triangle ABL.

L’angle l délimité par les traits violets est l = 360° / nombre de trous du plateau, d’où chacun des deux angles, (vu que la somme des 3 angles d’un triangle = 180°) est de : (180 – l) / 2

On peut donc généraliser le cas du plateau à 5 trous (avec T = nombre de trous)par les formules suivantes, au choix :

Méthode 1 : D = 2 * (L * sin (180-(360 / T)/2)) / sin (360 / T)

Méthode 2 : D = 2 * √¯( (L/2)² + ((L/2) / tan(180 / T))² )

CQFD ! Ouf…

Restons terre à terre !

Si vous avez survécu à la partie théorique (ou non !), allez donc voir les applications concrètes de tout ceci :

Pour le calculateur en lui-même, voir ICI.
Pour un tableau récapitulatif des diamètres usuels, voir LÀ.
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